BAB 4

Mekanika Kuantum Schrödinger

Formulasi matematis modern mekanika kuantum melalui konsep operator, persamaan diferensial gelombang, dan interpretasi probabilitas yang menggantikan lintasan partikel klasik.

4.1 Motivasi di Balik Mekanika Kuantum Schrödinger

Pada awal abad ke-20, fisika menghadapi paradoks besar: model atom Bohr (Bab 3) berhasil menjelaskan spektrum atom hidrogen, namun memiliki landasan teoretis yang rapuh. Postulat kuantisasi momentum sudut ($mvr = n\hbar$) dimasukkan secara "ad-hoc" (begitu saja) tanpa justifikasi fundamental. Selain itu, model Bohr gagal untuk atom polielektron dan tidak bisa menjelaskan intensitas relatif dari garis spektral.

Pada tahun 1924, Louis de Broglie mengusulkan ide revolusioner bahwa partikel materi, seperti elektron, memiliki sifat gelombang ($\lambda = h/p$). Ini memicu pertanyaan kritis bagi para fisikawan saat itu: Jika elektron adalah gelombang, apa persamaan gelombang yang mengatur perilakunya? Kita memiliki persamaan gelombang untuk air dan untuk cahaya (persamaan Maxwell), namun belum ada persamaan untuk "gelombang materi".

Pada saat yang bersamaan, Werner Heisenberg mengembangkan formulasi mekanika kuantum menggunakan matriks (Matrix Mechanics). Meskipun matematis dan berhasil, formulasi matriks terasa abstrak dan jauh dari intuisi fisika klasik. Erwin Schrödinger, yang terinspirasi oleh karya de Broglie dan Albert Einstein, berusaha mencari formulasi yang lebih akrab secara matematis. Ia bertekad untuk menurunkan sebuah persamaan diferensial gelombang yang dapat menghasilkan tingkat energi terkuantisasi secara alami dari bentuk potensial $V(x)$, tanpa memerlukan postulat ad-hoc.

Hasil pekerjaannya pada tahun 1926 melahirkan Mekanika Gelombang (Wave Mechanics), yang kemudian dikenal sebagai Persamaan Schrödinger. Formulasi ini tidak hanya menggantikan model Bohr, tetapi juga memberikan kerangka komprehensif untuk memahami perilaku partikel pada skala sub-atomik, yang menjadi fondasi seluruh fisika material dan elektronika modern.

4.2 Konsep Operator dalam Mekanika Kuantum

Dalam fisika klasik, besaran fisika seperti posisi ($x$) dan momentum ($p$) hanyalah angka (variabel aljabar). Namun, dalam mekanika kuantum, partikel digambarkan sebagai gelombang ($\psi$), sehingga besaran fisika direpresentasikan sebagai operator matematis yang "mengoperasikan" fungsi gelombang tersebut.

Dengan menganalogikan gelombang partikel bebas $\psi = e^{i(kx-\omega t)}$ dengan hubungan de Broglie ($p = \hbar k$) dan Einstein ($E = \hbar \omega$), kita dapat menurunkan operator fundamental:

  1. Operator Momentum (1D):
    Turunan pertama gelombang terhadap $x$ adalah $\frac{\partial \psi}{\partial x} = ik \psi$. Karena $p = \hbar k = \hbar \left(\frac{1}{i}\right) i k$, kita definisikan:
    $$ \hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \tag{4.1} $$
    Mengoperasikannya pada $\psi$ menghasilkan nilai momentum: $\hat{p}\psi = p\psi$.
  2. Operator Energi (Hamiltonian):
    Turunan pertama gelombang terhadap $t$ adalah $\frac{\partial \psi}{\partial t} = -i\omega \psi$. Karena $E = \hbar \omega$, kita definisikan:
    $$ \hat{E} = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \tag{4.2} $$
    Mengoperasikannya pada $\psi$ menghasilkan nilai energi: $\hat{E}\psi = E\psi$.
Mengapa Operator Harus Linear?

Persamaan Schrödinger mensyaratkan operator bersifat linear. Sifat linearitas memastikan prinsip superposisi gelombang berlaku: jika $\psi_1$ dan $\psi_2$ adalah keadaan yang valid, maka kombinasi linearnya $\Psi = c_1\psi_1 + c_2\psi_2$ juga merupakan keadaan kuantum yang valid. Contoh klasik operator linear adalah operator turunan $\frac{d}{dx}$, di mana $\frac{d}{dx}(f+g) = \frac{df}{dx} + \frac{dg}{dx}$.

4.3 Derivasi Persamaan Schrödinger

Erwin Schrödinger (1926) berargumen bahwa jika gelombang partikel mematuhi hukum klasik, maka kita harus memformulasikan persamaan diferensialnya. Mari kita mulai dari hukum kekekalan energi mekanik klasik (kuantitas skalar, bukan operator):

$$ E = \frac{p^2}{2m} + V(x) \tag{4.3} $$

Di mana $E$ adalah energi total, $\frac{p^2}{2m}$ adalah energi kinetik, dan $V(x)$ adalah energi potensial. Kita "kuantisasi" persamaan ini dengan mengganti variabel klasik $p$ dan $E$ dengan operator kuantumnya:

$$ \hat{E} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x) \tag{4.4} $$

Karena $\hat{p}^2 = (-i\hbar \frac{\partial}{\partial x})^2 = -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}$, dan $\hat{E} = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$, kita aplikasikan persamaan operator ini ke fungsi gelombang $\Psi(x,t)$:

$$ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V(x)\Psi \tag{4.5} $$

Persamaan (4.5) ini adalah Persamaan Schrödinger Bergantung Waktu (Time-Dependent Schrödinger Equation - TDSE). Ini adalah persamaan dasar mekanika kuantum non-relativistik, analog dengan Hukum II Newton ($F=ma$) dalam fisika klasik.

Persamaan Schrödinger Tak Bergantung Waktu (TISE)

Jika potensial $V$ tidak bergantung waktu, kita dapat memisahkan variabel $\Psi(x,t) = \psi(x)\phi(t)$. Solusi bagian waktu adalah $\phi(t) = e^{-iEt/\hbar}$. Bagian spasialnya menghasilkan persamaan eigenvalue:

$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi \tag{4.6} $$

Persamaan ini dikenal sebagai Persamaan Schrödinger Tak Bergantung Waktu (TISE). Operator di ruas kiri disebut Hamiltonian ($\hat{H}$). Solusi $\psi_n(x)$ yang memenuhi persamaan ini disebut eigenfungsi, dan energi $E_n$ adalah eigenvalue-nya. Namun, apa makna fisik dari fungsi gelombang $\Psi$ ini?

4.4 Interpretasi Fungsi Gelombang dan Peluang

Setelah Schrödinger menerbitkan persamaannya, muncul pertanyaan fundamental: gelombang apa yang dirambat oleh $\Psi$? Pada tahun 1926, Max Born mengusulkan interpretasi yang mengubah cara kita memandang realitas fisik. Born menyatakan bahwa fungsi gelombang itu sendiri bukanlah besaran fisik yang bisa diukur (seperti tekanan suara atau medan listrik). Melainkan, kuadrat mutlak dari fungsi gelombang merepresentasikan rapat probabilitas (probability density) untuk menemukan partikel.

$$ P(x,t) = |\Psi(x,t)|^2 = \Psi^*(x,t) \Psi(x,t) \tag{4.7} $$

Probabilitas untuk menemukan partikel dalam interval kecil $dx$ di sekitar posisi $x$ pada waktu $t$ adalah $P(x,t)dx$. Karena partikel pasti ada di suatu tempat di alam semesta, jumlah seluruh probabilitas dari ujung ke ujung harus sama dengan 1 (100%). Ini disebut syarat normalisasi:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx = 1 \tag{4.8} $$
Konsep Kunci: Lintasan vs Peluang

Dalam fisika klasik, peluru meriam memiliki lintasan pasti $x(t)$. Kita bisa memprediksi persis di mana peluru berada di setiap detik. Dalam mekanika kuantum, elektron tidak memiliki lintasan. Saat kita tidak mengamati, elektron berada dalam superposisi gelombang. Saat kita melakukan pengukuran, fungsi gelombang "runtuh" (collapse) dan kita menemukan elektron di satu titik secara probabilistik berdasarkan $|\Psi|^2$.

4.5 Solusi Gelombang Bidang (Partikel Bebas)

Kasus paling sederhana adalah partikel bebas, di mana tidak ada gaya yang bekerja, sehingga $V(x) = 0$. Persamaan (4.6) menjadi:

$$ \frac{d^2 \psi}{dx^2} = -\frac{2mE}{\hbar^2} \psi = -k^2 \psi \tag{4.9} $$

Solusi umum dari persamaan diferensial harmonik ini adalah gelombang bidang (plane wave):

$$ \psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} \tag{4.10} $$

Karena tidak ada batasan fisik yang mengurung partikel, nilai $k$ (dan dengan demikian energi $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$) bisa bernilai kontinu apa saja. Partikel bebas tidak mengalami kuantisasi energi.

Catatan Probabilitas: Jika kita menghitung rapat probabilitas $|\psi|^2$ untuk partikel bebas murni, hasilnya konstan di mana-mana. Ini berarti partikel bebas memiliki probabilitas yang sama untuk ditemukan di semua titik di ruang angkasa, yang masuk akal karena tidak ada potensial yang membatasinya.

4.6 Partikel dalam Sumur Potensial Tak Hingga

Sekarang kita menambahkan batasan fisik. Misalkan partikel terkurung dalam sebuah box 1D sepanjang $L$, di mana potensialnya $V(x) = 0$ untuk $0 < x < L$, dan $V(x) = \infty$ di luarnya. Partikel tidak bisa keluar dari box karena membutuhkan energi tak hingga.

Kondisi Batas: Karena partikel tidak bisa berada di luar box, probabilitas di luar box adalah nol. Fungsi gelombang harus kontinu, sehingga:

$$ \psi(0) = 0 \quad \text{dan} \quad \psi(L) = 0 \tag{4.11} $$

Di dalam box ($V=0$), solusinya sama dengan partikel bebas: $\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)$. Dengan menerapkan kondisi batas:

  • Di $x=0$: $\psi(0) = A(0) + B(1) = 0 \implies B = 0$.
  • Di $x=L$: $\psi(L) = A \sin(kL) = 0$. Agar tidak trivial ($A \neq 0$), maka $\sin(kL) = 0$, yang berarti $kL = n\pi$ untuk $n = 1, 2, 3, \dots$

Di sinilah kuantisasi muncul secara alami dari matematika! Nilai $k$ tidak bisa sembarang, melainkan $k_n = \frac{n\pi}{L}$. Substitusikan ke persamaan energi menghasilkan tingkat energi terkuantisasi:

$$ E_n = \frac{\hbar^2 k_n^2}{2m} = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \tag{4.12} $$

Fungsi gelombang yang ternormalisasi (memenuhi syarat $\int |\psi|^2 dx = 1$) adalah:

$$ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \tag{4.13} $$
V = ∞ V = ∞ V = 0 E₁ E₂ E₃ ψ₁ ψ₂ ψ₃ Posisi (x) Energi / ψ(x)
Gambar 4.1. Tiga tingkat energi terendah (E₁, E₂, E₃) dan fungsi gelombangnya (ψₙ) di dalam sumur potensial tak hingga.

Efek Ukuran Sumur dan Quantum Dots (QD)

Perhatikan persamaan energi (4.12). Energi tingkat dasar ($n=1$) berbanding terbalik dengan kuadrat lebar sumur ($E_1 \propto 1/L^2$). Ini berarti jika ukuran sumur (box) diperkecil, tingkat energi elektron akan meningkat drastis. Fenomena ini dikenal sebagai Quantum Confinement (Kurungan Kuantum).

Aplikasi paling menarik dari efek ini ada pada Quantum Dot (QD) atau Titik Kuantum. Quantum Dot adalah kristal semikonduktor berukuran nanometer (biasanya 2 hingga 10 nm) yang berfungsi mengurung elektron dalam tiga dimensi. Kristal kecil ini bertindak seperti sumur potensial bagi elektron. Karena $E \propto 1/L^2$, ukuran fisik QD menentukan tingkat energinya (band gap). Saat elektron di QD jatuh dari tingkat energi tinggi ke tingkat dasar, ia memancarkan foton. QD yang lebih besar (L besar) memiliki gap energi lebih kecil, sehingga memancarkan cahaya merah. Sebaliknya, QD yang lebih kecil (L kecil) memiliki gap energi lebih besar, memancarkan cahaya biru. Inilah mengapa QD dapat digunakan untuk layar TV berwarna sangat pekat dan akurat.

Namun, model sumur tak hingga mengasumsikan tembok potensial tidak bisa ditembus sama sekali. Pada kenyataannya, dalam material semikonduktor riil, elektron bisa "merembes" sedikit keluar dari batas kristal. Oleh karena itu, model yang lebih akurat dan realistis untuk menjelaskan Quantum Dot adalah Sumur Potensial Berhingga.

4.7 Partikel dalam Sumur Potensial Berhingga

Sumur potensial berhingga adalah model yang lebih realistis. Misalkan partikel berada dalam sumur dengan lebar $L$ (kita batasi dari $x = -a$ hingga $x = a$, sehingga $L = 2a$), di mana potensialnya adalah:

$$ V(x) = \begin{cases} 0 & \text{jika } -a < x < a \text{ (Di dalam sumur)} \\ V_0 & \text{jika } |x| \geq a \text{ (Di luar sumur)} \end{cases} $$

Kita mencari solusi bound state (keadaan terikat), di mana energi total partikel lebih kecil dari dinding potensial ($E < V_0$). Secara klasik, partikel tidak akan pernah bisa keluar dari sumur. Namun, mekanika kuantum memberikan hasil yang mengejutkan.

V = V₀ V = V₀ V = 0 E (E < V₀) e^(κx) e^(-κx) Sumur Potensial Berhingga (Finite Square Well) Posisi (x)
Gambar 4.2. Fungsi gelombang pada sumur potensial berhingga. Fungsi merosot (decay) secara eksponensial sebanding dengan jarak dari sumur, melengkung secara halus menuju nol di wilayah yang dilarang secara klasik.

Persamaan Schrödinger Tak Bergantung Waktu harus diselesaikan di tiga wilayah yang berbeda:

$$ \text{Wilayah I } (x < -a): \quad -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi_I}{dx^2} + V_0 \psi_I = E \psi_I $$ $$ \text{Wilayah II } (-a < x < a): \quad -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi_{II}}{dx^2} = E \psi_{II} $$ $$ \text{Wilayah III } (x > a): \quad -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi_{III}}{dx^2} + V_0 \psi_{III} = E \psi_{III} $$

Karena $E < V_0$, kita definisikan konstanta $k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ untuk wilayah dalam, dan $\kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}$ untuk wilayah luar. Solusi umum matematika untuk persamaan diferensial ini memiliki 6 konstanta:

$$ \psi_I(x) = A e^{\kappa x} + B e^{-\kappa x} $$ $$ \psi_{II}(x) = C \sin(kx) + D \cos(kx) $$ $$ \psi_{III}(x) = F e^{\kappa x} + G e^{-\kappa x} $$

Namun, syarat fisis mensyaratkan fungsi gelombang harus bernilai nol (terbatas) saat $x \to \pm\infty$. Oleh karena itu, suku yang menuju tak hingga harus dibuang: $B = 0$ dan $F = 0$. Ini menyisakan 4 parameter yang belum diketahui: $A, C, D, G$.

Kondisi Perbatasan (4 Persamaan Matching)

Fisika kuantum mensyaratkan bahwa fungsi gelombang $\psi(x)$ dan turunan pertamanya $\frac{d\psi}{dx}$ harus kontinu di setiap titik, termasuk di batas dinding sumur ($x = -a$ dan $x = a$). Jika tidak kontinu, probabilitas arus partikel akan menjadi tak hingga. Penerapan syarat kontinuitas ini menghasilkan 4 persamaan:

Di batas $x = -a$:

  1. Kontinuitas $\psi$: $\quad A e^{-\kappa a} = -C \sin(ka) + D \cos(ka)$
  2. Kontinuitas $\frac{d\psi}{dx}$: $\quad \kappa A e^{-\kappa a} = k C \cos(ka) + k D \sin(ka)$

Di batas $x = a$:

  1. Kontinuitas $\psi$: $\quad C \sin(ka) + D \cos(ka) = G e^{-\kappa a}$
  2. Kontinuitas $\frac{d\psi}{dx}$: $\quad k C \cos(ka) - k D \sin(ka) = -\kappa G e^{-\kappa a}$

Kita memiliki 4 persamaan dengan 4 variabel. Agar sistem ini memiliki solusi tidak trivial (di mana tidak semua parameter bernilai nol), determinan dari matriks koefisien harus sama dengan nol. Untuk menyederhanakan matematika yang cukup rumit ini, kita manfaatkan simetri sumur ($V(-x) = V(x)$). Solusi dapat dipisahkan menjadi dua kasus: Even (genap) dan Odd (ganjil).

Kasus Even (Symmetric): $\psi(-x) = \psi(x)$. Ini memaksa $C = 0$.
Dengan mensubstitusikan $C=0$ ke persamaan 3 dan 4, lalu membaginya, kita dapatkan persamaan transendental:

$$ k \tan(ka) = \kappa \quad \text{(Solusi Even)} \tag{4.14} $$

Kasus Odd (Antisymmetric): $\psi(-x) = -\psi(x)$. Ini memaksa $D = 0$.
Dengan cara matching yang sama, kita dapatkan:

$$ -k \cot(ka) = \kappa \quad \text{(Solusi Odd)} \tag{4.15} $$

Metode Grafis untuk Mencari Energi

Persamaan (4.14) dan (4.15) tidak bisa diselesaikan secara analitik untuk mendapatkan rumus eksak $E$. Solusinya harus dicari secara numerik. Cara visual yang umum digunakan (biasanya menggunakan MATLAB atau Python) adalah dengan mendefinisikan variabel tanpa dimensi: $z = ka$ dan $z_0 = a \sqrt{2mV_0}/\hbar$.

Karena $\kappa = \sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$, maka $z^2 + (\kappa a)^2 = z_0^2$, atau $\kappa a = \sqrt{z_0^2 - z^2}$. Kita bisa menulis ulang persamaan transendental sebagai:

$$ \text{Even: } \tan(z) = \sqrt{\left(\frac{z_0}{z}\right)^2 - 1} \quad \text{dan} \quad \text{Odd: } -\cot(z) = \sqrt{\left(\frac{z_0}{z}\right)^2 - 1} $$

Dengan memplot kurva lingkaran $\sqrt{z_0^2 - z^2}$ dan kurva tangen/kotangen pada grafik yang sama, titik potong kedua kurva merepresentasikan solusi $z$ yang diperbolehkan. Dari $z$, kita bisa dapatkan $E = \frac{\hbar^2 z^2}{2ma^2}$.

0 1 2 3 4 5 6 z 0 2 4 6 κa Elips (z₀=6) Even: tan(z) Odd: -cot(z) Titik Solusi Plot Metode Grafis Sumur Potensial Berhingga (z₀ = 6)
Gambar 4.3. Metode grafis untuk menyelesaikan persamaan transendental. Titik potong antara kurva elips (biru) dengan kurva tangen (hijau) dan kotangen (merah putus-putus) menentukan tingkat energi terkuantisasi yang diperbolehkan.

Dari grafik di atas, terlihat jelas bahwa jumlah keadaan terikat (bound states) yang ada selalu berhingga, bergantung pada kedalaman dan lebar sumur ($z_0$). Semakin dalam dan lebar sumur, semakin banyak titik potong yang muncul.

Quantum Tunneling (Rembesan Kuantum)

Dari solusi di atas, terlihat bahwa $\psi_I$ dan $\psi_{III}$ bukan nol di luar sumur. Akibatnya, probabilitas $|\psi|^2$ juga tidak nol di wilayah yang dilarang secara klasik ($E < V_0$). Partikel bisa "merembes" menembus dinding. Fenomena ini menjadi dasar operasi transistor modern, memori flash, dan mikroskop STM.

Energi dan Efek Ukuran pada Sumur Berhingga (Quantum Dots Realistis)

Meskipun persamaan transendental (4.14) dan (4.15) tidak memberikan rumus eksak seperti $E_n = n^2 \pi^2 \hbar^2 / 2mL^2$, perilaku energi pada sumur berhingga secara kualitatif sangat mirip dengan sumur tak hingga, namun dengan beberapa perbaikan penting yang relevan untuk Quantum Dots:

  1. Energi Lebih Rendah: Tingkat energi pada sumur berhingga selalu sedikit lebih rendah dibandingkan sumur tak hingga dengan lebar $L$ yang sama. Hal ini karena fungsi gelombang yang merembes (tunneling) membuat panjang gelombang efektifnya menjadi lebih panjang, sehingga nilai $k$ lebih kecil, dan $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$ pun turun.
  2. Jumlah Keadaan Terbatas: Tidak seperti sumur tak hingga yang memiliki tak hingga tingkat energi, sumur berhingga hanya memiliki sejumlah berhingga keadaan terikat (bound states). Jika energi $E$ mendekati $V_0$, tingkat energi tersebut tidak lagi terikat dan elektron akan terlepas (terionisasi).
  3. Ekspresi Energi dan Efek Ukuran: Secara umum, energi masih dinyatakan sebagai $E_n \approx \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL_{eff}^2}$, di mana $L_{eff}$ adalah lebar efektif yang sedikit lebih besar dari $L$ akibat rembesan. Yang paling penting, hubungan $E \propto 1/L_{eff}^2$ tetap berlaku. Dalam aplikasi Quantum Dot yang realistis, mengecilkan ukuran nanokristal (mendekati ukuran panjang gelombang de Broglie elektron) akan menyebabkan kenaikan energi celah (band gap) secara signifikan, menggeser warna emisi yang dihasilkan. Model sumur berhingga secara akurat memprediksi bahwa untuk ukuran QD yang sangat kecil, tingkat energi atas akan hilang (terlepas dari sumur), sebuah fenomena yang benar-benar teramati dalam eksperimen spektroskopi nanokristal.

4.8 Keberhasilan Penjelasan Atom Hidrogen

Ujian sejati bagi Persamaan Schrödinger adalah mampukah ia menjelaskan atom hidrogen secara alami, tanpa postulat ad-hoc seperti model Bohr? Jawabannya adalah ya, dan ini menjadi triumf mekanika gelombang. Dengan memperluas persamaan (4.6) ke dalam tiga dimensi (menggantikan $\frac{d^2}{dx^2}$ menjadi operator Laplacian $\nabla^2$ dalam koordinat bola) dan mensubstitusi potensial Coulomb antara elektron dan proton $V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$, persamaan Schrödinger dapat diselesaikan secara analitik.

Hasil solusi matematisnya sangat elegan dan melahirkan tiga bilangan kuantum secara alami murni dari syarat batas kelengkapan fungsi gelombang:

  1. Bilangan Kuantum Utama ($n$): Menentukan tingkat energi dan ukuran orbital. Nilai $n = 1, 2, 3, \dots$
  2. Bilangan Kuantum Azimut/Momentum Sudut ($l$): Menentukan bentuk geometri orbital. Nilai $l = 0, 1, \dots, n-1$. (Di model Bohr, orbitnya selalu melingkar, Schrödinger menghasilkan bentuk s, p, d, f).
  3. Bilangan Kuantum Magnetik ($m$): Menentukan orientasi orbital di ruang 3D. Nilai $m = -l, \dots, 0, \dots, +l$. (Ini menjelaskan Efek Zeeman, pemecahan garis spektrum akibat medan magnet, yang tidak bisa dijelaskan Bohr).

Yang lebih luar biasa lagi, tingkat energi yang dihasilkan oleh solusi Schrödinger persis sama dengan rumus Bohr:

$$ E_n = -\frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2} \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2} \tag{4.16} $$

Namun, bedanya kali ini kuantisasi energi bukan disebabkan oleh postulat momentum sudut yang dipaksakan, melainkan muncul secara matematis dari persamaan diferensial biasa. Interpretasi probabilitas Max Born juga mengubah pandangan kita: elektron tidak lagi mengorbit di lintasan pasti (seperti planet), melainkan membentuk awan probabilitas (orbital) di mana rapat awannya ditentukan oleh $|\psi_{nlm}|^2$. Bentuk orbital s (sferis) dan p (dumbbell) adalah hasil langsung dari solusi Schrödinger.

Keberhasilan ini menjadikan Persamaan Schrödinger sebagai fondasi absolut kimia kuantum. Ketika diterapkan pada sistem multi-elektron dan molekul (dengan pendekatan Born-Oppenheimer), tumpang tindih fungsi gelombang antar atom menjelaskan bagaimana ikatan kimia (ionik, kovalen, logam) terbentuk. Inilah yang akan kita bahas lebih lanjut di Bab 5.

Pertanyaan Latihan Bab 4
  1. Tuliskan bentuk operator momentum $\hat{p}$ dan operator energi $\hat{E}$. Tunjukkan bagaimana mengoperasikan $\hat{p}$ pada fungsi gelombang bidang $\psi(x) = e^{ikx}$ menghasilkan hubungan de Broglie $p = \hbar k$!
  2. Turunkan Persamaan Schrödinger Tak Bergantung Waktu (TISE) dari hukum kekekalan energi klasik!
  3. Jelaskan interpretasi probabilistik dari fungsi gelombang menurut Max Born. Mengapa fungsi gelombang harus dinormalisasi?
  4. Mengapa operator dalam mekanika kuantum harus bersifat linear? Jelaskan kaitannya dengan prinsip superposisi!
  5. Jelaskan bagaimana kondisi batas $\psi(0) = 0$ dan $\psi(L) = 0$ pada sumur potensial tak hingga menghasilkan fenomena kuantisasi energi!
  6. Sebuah elektron terkurung dalam box 1D sepanjang $L = 1 \text{ nm}$. Hitunglah energi pada tingkat dasar ($n=1$) dan tingkat pertama ($n=2$)! (Gunakan $\hbar = 1.055 \times 10^{-34} \text{ J s}$, $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$).
  7. Apa yang dimaksud dengan Quantum Tunneling? Jelaskan mengapa fenomena ini tidak mungkin terjadi dalam fisika klasik Newton!
  8. Pada sumur potensial berhingga, mengapa fungsi gelombang dan turunan pertamanya harus kontinu di batas dinding sumur?
  9. Bandingkan solusi partikel bebas dengan partikel dalam sumur tak hingga. Mengapa partikel bebas memiliki spektrum energi kontinu sedangkan partikel dalam sumur terkuantisasi?
  10. Bagaimana Persamaan Schrödinger berhasil menjelaskan atom hidrogen secara lebih lengkap dibandingkan model Bohr? Sebutkan tiga bilangan kuantum yang muncul secara alami!
  11. Jelaskan fenomena Quantum Confinement pada Quantum Dots menggunakan persamaan energi sumur potensial! Mengapa ukuran QD menentukan warna cahaya yang dipancarkannya?

4.9 Referensi

Berikut adalah daftar pustaka yang direkomendasikan untuk memperdalam materi pada bab ini:

  1. Griffiths, D. J. (2018). Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.
  2. Shankar, R. (2011). Principles of Quantum Mechanics (2nd ed.). Springer.
  3. Neamen, D. A. (2012). Physics of Semiconductor Devices (4th ed.). McGraw-Hill Education. (Bab 2)